\documentclass[12pt,a4paper]{annales}
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\parskip=2mm
\begin{document}


\begin{flushright}
\textbf{SESSION 2003}
\end{flushright}


\begin{center}
{\taille{18}\textbf{BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE}}

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{\taille{18}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\bigskip
{\taille{16}\textbf{GENIE DES MATÉRIAUX}}

{\taille{16}\textbf{GENIE MECANIQUE B, C, D, E}}

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\bigskip
{\taille{16}\textbf{MATHEMATIQUES}}

\end{center} 

\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}\hfil
\textbf{Coefficient : 4}


\textbf{Séries STI}

~~~~~\textbf{- Génie mécanique options :}\par
~~~~~~~~~\textbf{Systèmes Motorisés (B), Structures Métalliques (C),}\par
~~~~~~~~~\textbf{Bois et Matériaux Associés (D), Matériaux Souples (E),}\par
~~~~~\textbf{- Génie des Matériaux.}

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\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}

\bigskip
\textbf{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}\\
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\bigskip
\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}\\
\textbf{Le sujet nécessite UNE feuille de papier millimétré.}

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\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 3 pages (y compris celle-ci).}

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\textbf{1/3}

\end{center}

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\textbf{Exercice I : (4 points)}
\qstssq Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes \C l'équation : $z^2+2z+2=0$.
\ssq Résoudre dans $\C\,-\,\{1\}$ l'équation : $\dfrac{z+1}{z-1}=2-{\rm i}$. On écrira la solution sous forme algébrique.

\qst Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $(O;\vec u,\vec v)$, on donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=-1+{\rm i}$, $z_B=-1-{\rm i}$ et $z_C=2+{\rm i}$.
\ssq	 Représenter les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $(O;\vec u,\vec v)$.
\ssq Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Le justifier.
\ssq En déduire l'affixe du point $\Omega$ centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et le rayon $r$ de ce cercle.


\centerline{\rule{5cm}{0.2mm}}

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\numqst1
\textbf{Exercice II : (5 points)}

Soit l'équation différentielle : $4y''+\pi^2\,y=0$. 
\qst Résoudre cette équation différentielle.

\qst Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec \imath,\vec \jmath)$. Déterminer la fonction $g$ solution de cette équation différentielle qui satisfait aux conditions suivantes :

\qquad
\begin{tabular}{l}
\textbullet\ la courbe représentative de $g$ passe par le point $N$ de coordonnées 
$\left (\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )$,\\
\textbullet\ la tangente à cette courbe en $N$ est parallèle à l'axe des abscisses.\\
\end{tabular}

\qst Vérifier que pour tout nombre réel $x$,\quad $g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left (\dfrac{\pi}{2}\,x-\dfrac{\pi}{4}\right )$.

\qst Résoudre sur l'intervalle [$-2$ ; 2 ] l'équation $g(x)=-\dfrac{1}{2}$.

\medskip
\centerline{\rule{5cm}{0.2mm}}

\bigskip
\numqst1

\textbf{Problème : (11 points)}

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par $f(x)={\rm e}^{2x}+x$.

Soit $C$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec \imath,\vec \jmath)$. (Unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées). 
\qst \'Etude du comportement de $f$ en $-\infty$ :
\ssq Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\ssq Montrer que $C$ admet pour asymptote la droite $\Delta$ d'équation : $y=x$.
\ssq \'Etudier les positions relatives de $\Delta$ et de $C$.

\qst \'Etude du comportement de $f$ en $+\infty$ : \\
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

\vfill
\centerline{\textbf{2/3}}

\newpage

\qst \'Etude des variations de $f$ :
\ssq Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
\ssq \'Etablir le tableau de variation de $f$.

\qst Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse 1.\\
Vérifier que le point $A$ (1\,;\,${\rm e}^2+1$) appartient à $T$.

\qst Dans le repère $(O;\vec \imath,\vec \jmath)$ tracer $\Delta$, $T$ et $C$.

\qstssq Justifier que l'équation $f(x)=0$ a une solution $\alpha$ et une seule sur [$-1$ ; 0].
\ssq Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. Justifier le résultat.

\qst Soit la partie $D$ du plan limitée par la courbe $C$, l'axe des abscisses et les droites d'équation
$x=\alpha$ et $x=1$.

\ssq Hachurer la partie $D$.
\ssq Calculer, en unités d'aire et en fonction de  $\alpha$, la valeur exacte de l'aire $A( \alpha)$ de la partie~$D$.
\ssq Vérifier, en utilisant l'égalité $f(\alpha)=0$, que $A(\alpha)=\dfrac{1}{2}({\rm e}^2-\alpha^2+\alpha+1)$.
\ssq Déterminer, au mm$^{2}$ près, une valeur approchée de $A(\alpha)$ en prenant $-0,43$ comme valeur approchée de $\alpha$.

\vfill
\centerline{\textbf{3/3}}

\end{document}
